f(a+x)+f(a-x)=0 f(b+x)+f(b-x)=0 证明f(x)周期为4（a-b）

f(a+x)+f(a-x)=0
所以f(a-x)= -f(a+x)
令t=a-x
所以f(t)= -f(2a-t)
f(b+x)+f(b-x)=0
令t=b-x
所以f(t)= -f(2b-t)
所以f(t)= -f(2a-t)= -f(2b-t)
那么f(2a-t)= f(2b-t)
令y=2a-t
所以f(y)=f(2b-2a+y)
所以最小周期T=2(b-a)
那么2T=4(b-a)自然也是周期
再问： 1/2 + [ f(x)-f^2(x)]^1/2 =f(a+x) f(x)属于[0,1] 则周期为3a 如何证明呢？

[ f(x)-f^2(x)]^1/2的意思是 f(x)-f^2(x) 开根号..
谢谢大师~~
再答： 证明周期是2a，不是3a

f(x)-f^2(x)]^1/2 =f(a+x)-1/2>=0

所以f(a+x)>=1/2
由于a和x具有任意性，
所以f(x)>=1/2
f(x)∈[1/2,1]

[f(x)-f^2(x)]^1/2 =f(a+x)-1/2 -----------------------1
两边平方得到
f(x)-f^2(x)=f^2(a+x)-f(a+x)+1/4= -[f(a+x)-f^2(a+x)]+1/4 ----------------------2
上式中，令x=a+x
f(a+x)-f^2(a+x)=f^2(2a+x)-f(2a+x)+1/4 -------------------------------3

把3带入2中
得到f(x)-f^2(x)= -[f^2(2a+x)-f(2a+x)+1/4]+1/4=f(2a+x)-f^2(2a+x)
所以f^2(2a+x)-f^2(x)=f(2a+x)-f(x)
[f(2a+x)+f(x)][f(2a+x)-f(x)]=f(2a+x)-f(x)
所以[f(2a+x)-f(x)][f(2a+x)+f(x)-1]=0
所以 f(2a+x)=f(x)或者f(2a+x)+f(x)=1

对于f(2a+x)=f(x)
周期是T=2a

对于f(2a+x)+f(x)=1
因为f(a+x)>=1/2, f(x)>=1/2
那么必须有f(a+x)=1/2, f(x)=1/2
但是带回原方程，显然不成立

所以f(2a+x)=f(x)，
T=2a是周期。

你检查一下题目，周期是2a还是3a啊