导函数在某点极限存在,且函数连续.

一般的函数在某点极限存在,该点确实不一定有定义,但是导函数有一些不同于一般函数的性质（这就是说不是随便给一个函数,它就能成为某个初等函数的导函数的）.你所说其实是导函数的一个重要性质,称为导数极限定理,证明过程一般教材上有.该定理的特殊之处在于,甚至不事先要求函数在x=a处可导,而只通过导函数在该点处的极限得出该点处的导数.用连续性的观点来看,这定理的本质是,导函数如果在某点处极限存在,则在该点连续,而这正是一般函数不具有的.从这个定理出发,可以推出其它一些导函数的性质,例如导函数的介值性,没有第一类间断点等.