在平面直角坐标系xOy中，设直线y＝3x+2

∵直线y＝
3x+2m和圆x²+y²=n²相切，
∴圆心到直线的距离是半径n，
∴
2m
2＝n
∴2^m=2n，
∵m，n∈N，0＜|m-n|≤1，
∴m=3，n=4，
∴函数f（x）=m^x+1-n=3^x+1-4，
要求函数的零点所在的区间，
令f（x）=0，
即3^x+1-4=0，
∴3^x+1=4，
∴x+1=log₃⁴，
∴x=log₃⁴-1
∵log₃⁴∈（1，2）
∴x∈（0，1）
∴k=0
故答案为：0