V1,V2的直和是K^n,证明存在唯一的幂等矩阵A,使V1={x|Ax=0} V2={x|Ax=x}

个人意见,仅供参考哈.
令 E 是域 K 上的一个向量空间,并且是子空间 V,V' 的直和.则存在唯一的线性变换
f :E ---> E
使得
V = { all x ∈ E such that f(x) = 0 } = Ker( f ) ,
V' = { all x ∈ E such that f(x) = x } .
更进一步,此时有 V' = Im(f) ,并且 f 是幂等的,i.e.f^2 = f .
事实上,f 是 从 E 到 V' 上的,关于直和分解
E = V ⊕ V'
的投影( projection ) ; 具体地,每个向量 x ∈ E 可以唯一地分解成
x = y + y'
其中 y ∈ V ,y' ∈ V' ,f 把 x 对应到相应的 y' .
再问： 为什么这样的f存在呢
再答： 不好意思可能是我没说清楚. 我的意思是, 令 f 是从 E 到 V' 的, 关于这个直和分解的投影, 那么显然 f 满足要求; 反过来, 如果 g : E ---> E 也满足要求, 显然 g = f , 所以这样的线性变换"存在"并且"唯一". 如果您还需要更具体些的构造方法, 可以分别取 V, V' 的基 { x_i } 和 { y_j } , 然后令 f : E ---> E 在 x_i 上不变, 在 y_j 上为零 ; 容易说明 f 关于标准基的矩阵与基 { x_i } , { y_j } 的选择无关. ( 我对线性代数的具体技术不熟悉, 如果帮不上您的忙不好意思哈 ... ... )
再问： 不要这么客气啊我要不好意思了，是我有有求于你 这题是在习题集上看的，答案也是取V, V' 的基 { x_i } 和 { y_j } , 然后令 f : E ---> E 在 x_i 上不变, 在 y_j 上为零 ; 然后就能证明了 但是我就是不懂为什么会有这样的f，或者说这个f是什么 你说的直和分解投影的意思是f：（a，b）---＞a+b吗
再答： [ 关于映射 f ] 一般地, 令 E 是域 K 上的向量空间, 选定一个基 { x_i } , 令 f : E ----> E 是一个线性变换, 那么 f 可以由它在基上的作用唯一地决定, 因为 E 的每个元素都可以唯一地写成 x_i 的线性组合, 而 f 按照定义是线性的. 这个问题中, 如果取 V, V' 的基 { x_i } 和 { y_j } , 那么无交并 { x_i, y_j } = { x_i } ∪ { y_j } 是整个空间 E 的基, 所以规定 f : E ---> E 在 x_i 上为零, 在 y_j 上不变就唯一地决定了线性映射 f . ( 抱歉! 上面的回答中说反了.... 应该是在 V' 的基 { y_j } 上不变 ) [ 关于投影 ] 按照定义, E 是 V 与 V' 的内直和意味着 E 的每个元素 x 有唯一的分解 x = y + y' 我想说的" 从 E 到 V' 上的投影 " , 就是指 把每个 x 映到那个对应的 y' 的映射; 这里就是上面构造出的那个 f . 其实写出来很简单哈, 但是这里发图片太不方便了....还不如贴吧.希望对您有点帮助 :)