V1,V2的直和是K^n,证明存在唯一的幂等矩阵A,使V1={x|Ax=0} V2={x|Ax=x}

题目:

V1,V2的直和是K^n,证明存在唯一的幂等矩阵A,使V1={x|Ax=0} V2={x|Ax=x}

解答:

个人意见,仅供参考哈.
令 E 是域 K 上的一个向量空间,并且是子空间 V,V' 的直和.则存在唯一的线性变换
f :E ---> E
使得
V = { all x ∈ E such that f(x) = 0 } = Ker( f ) ,
V' = { all x ∈ E such that f(x) = x } .
更进一步,此时有 V' = Im(f) ,并且 f 是幂等的,i.e.f^2 = f .
事实上,f 是 从 E 到 V' 上的,关于直和分解
E = V ⊕ V'
的投影( projection ) ; 具体地,每个向量 x ∈ E 可以唯一地分解成
x = y + y'
其中 y ∈ V ,y' ∈ V' ,f 把 x 对应到相应的 y' .
再问: 为什么这样的f存在呢
再答: 不好意思可能是我没说清楚. 我的意思是, 令 f 是从 E 到 V' 的, 关于这个直和分解的投影, 那么显然 f 满足要求; 反过来, 如果 g : E ---> E 也满足要求, 显然 g = f , 所以这样的线性变换"存在"并且"唯一". 如果您还需要更具体些的构造方法, 可以分别取 V, V' 的基 { x_i } 和 { y_j } , 然后令 f : E ---> E 在 x_i 上不变, 在 y_j 上为零 ; 容易说明 f 关于标准基的矩阵与基 { x_i } , { y_j } 的选择无关. ( 我对线性代数的具体技术不熟悉, 如果帮不上您的忙不好意思哈 ... ... )
再问: 不要这么客气啊我要不好意思了,是我有有求于你 这题是在习题集上看的,答案也是取V, V' 的基 { x_i } 和 { y_j } , 然后令 f : E ---> E 在 x_i 上不变, 在 y_j 上为零 ; 然后就能证明了 但是我就是不懂为什么会有这样的f,或者说这个f是什么 你说的直和分解投影的意思是f:(a,b)--->a+b吗
再答: [ 关于映射 f ] 一般地, 令 E 是域 K 上的向量空间, 选定一个基 { x_i } , 令 f : E ----> E 是一个线性变换, 那么 f 可以由它在基上的作用唯一地决定, 因为 E 的每个元素都可以唯一地写成 x_i 的线性组合, 而 f 按照定义是线性的. 这个问题中, 如果取 V, V' 的基 { x_i } 和 { y_j } , 那么无交并 { x_i, y_j } = { x_i } ∪ { y_j } 是整个空间 E 的基, 所以规定 f : E ---> E 在 x_i 上为零, 在 y_j 上不变就唯一地决定了线性映射 f . ( 抱歉! 上面的回答中说反了.... 应该是在 V' 的基 { y_j } 上不变 ) [ 关于投影 ] 按照定义, E 是 V 与 V' 的内直和意味着 E 的每个元素 x 有唯一的分解 x = y + y' 我想说的" 从 E 到 V' 上的投影 " , 就是指 把每个 x 映到那个对应的 y' 的映射; 这里就是上面构造出的那个 f . 其实写出来很简单哈, 但是这里发图片太不方便了....还不如贴吧.希望对您有点帮助 :)




分类: 数学作业
时间: 10月14日

与《V1,V2的直和是K^n,证明存在唯一的幂等矩阵A,使V1={x|Ax=0} V2={x|Ax=x}》相关的作业问题

  1. 设A为m×n实矩阵,证明线性方程组Ax=0与A'Ax=0同解

    证明:显然有:Ax=0的解必然也是A'Ax=0的解.下面证:若A'Ax=0,那么Ax=0x是n维列向量,A'Ax是n维列向量且A'Ax=0,x'是n维行向量.方程A'Ax=0两边左乘x'得:x'A'Ax=0即:(x'A')(Ax)=(Ax)'(Ax)=0……①Ax是m维列向量,设为[a1,a2...am]'那么①式等价
  2. p1p2...pn为任意取定的点组,证明存在唯一的点P,使得pp1+pp2+.+ppn = 0,p称为点组p1p2...

    任取空间一点O作为原点,计于是任一点P唯一对应一个向量OP,也即可以用向量OP代替点P坐标1,取OP=1/n(OP1+OP2+.+OPn),PP1=OP1-OP,代入则满足你那个式子2,若另有一点P'异于P,则P'P1+P'P2+.+P'Pn=P'P+PP1+P'P+PP2+...P'P+PPn=nP'P不为0综上,存
  3. 设A是n阶方阵,证明齐次线性方程组AX=0与(A^T)AX=O是同解方程组.

    A是实方阵吧.证明:记A'=A^T(1)设X1是AX=0的解,则AX1=0所以A'AX1=A'(AX1)=A'0=0所以X1是A'AX=0的解.故 Ax=0 的解是 A'AX=0 的解.(2)设X2是A'AX=0的解,则A'AX2=0等式两边左乘 X2'得 X2'A'AX2=0所以有 (Ax2)'(Ax2)=0所以 A
  4. f(a+x)+f(a-x)=0 f(b+x)+f(b-x)=0 证明f(x)周期为4(a-b)

    f(a+x)+f(a-x)=0所以f(a-x)= -f(a+x)令t=a-x所以f(t)= -f(2a-t)f(b+x)+f(b-x)=0令t=b-x所以f(t)= -f(2b-t)所以f(t)= -f(2a-t)= -f(2b-t)那么f(2a-t)= f(2b-t)令y=2a-t所以f(y)=f(2b-2a+y)所
  5. 程序是matlab k = acos(cos(A_1)*ay-sin(A_1)*ax) A_1=pi/4;ay=ax=0

    不知你是怎么算的,结果也不是你说的那样呀:clear all;clc;A_1=pi/4;ax=0.7071;ay=ax;k=acos(cos(A_1)*ay-sin(A_1)*ax)k =1.5708 再问: 是ay=0.7071,ax=-0.7071 样子的,不过已经解决了,是精度问题
  6. V1,V2是实数域上的向量空间,证明V1交V2也是实数域上的向量空间.

    任取a,b属于V1交V2,k与l为任意实数,则显然ka+lb属于V1交V2,故V1交V2也是实数域上的向量空间.
  7. V1={A|A的转置=A,A属于n阶矩阵},V2={A|A的转置=-A,A属于n阶矩阵},证n阶矩阵=V1和V2的直和

    证明:首先,取任意矩阵A令T1=(A+A')/2,T2=(A-A')/2且T1∈V1,T2∈V2,A=T1+T2若B属于V1且B∈V2则B=(A+A')/2=(A-A')/2=>A=0=>B=0即V1交V2=0故n阶矩阵=V1和V2的直和 再问: 不好意思啊。。。我看不懂,要不你详细下,我努力加些分。。。这是我考试复习
  8. 设V1,V2,V3,V4是齐次线性方程组AX=0的一个基础解系,证明 β1=V2+V3+V4,β2=V1+V3+V4,β

    由题意,首先,β1,β2,β3,β4也是方程AX=0的解,所以只需证明它们不线性相关即可,设k1β1+k2β2+k3β3+k4β4=0--->V1(k2+k3+k4)+V2(k1+k3+k4)+V3(k1+k2+k4)+V4(k1+k2+k3)=0因为V1,V2,V3,V4是AX=0的基础解系,所以它们相互独立,所以-
  9. #include main() { int k ,v1=0,v2=0,v3=0,v4=0; char s[]="1213

    switch语句以下写错了这样写:switch(s[k]){case '1':v1++;break;case '2':v2++;break;case '3':v3++;break;default:v4++;break;}
  10. 证明这些向量是线性相关或线性无关 V1=(2,5,4)V2=(0,-6,2) V3=(2,1,8) V4=(4,-3,7

    显然这些向量线性相关.证明一:由向量的个数大于向量的维数,向量组线性相关.证明二:其实也是对证明一的证明,矩阵(V1,V2,V3,V4)是4乘以3的矩阵r(V1,V2,V3,V4)≤3<4所以向量组线性相关.
  11. 向量v1和v2是V空间的向量,证明当且仅当其中一个向量是另一向量的数量倍时,v1和v2线性相关.

    这是线性相关的定义v1,v2线性相关,则存在不全为0的数 k1,k2 使得 k1v1+k2v2=0若k1≠0则 v1= (-k2/k1) v2若k2≠0则 v2= (-k1/k2) v1反之,若其中一个向量是另一向量的数量倍不妨设 v1=kv2则 1v1-kv2 = 0所以 v1,v2线性相关
  12. 物体做匀变速直线运动的初速度为V0,末速度为V1,加速度为a,位移为x,证明V1平方-V2平方=2ax

    因为v1=v0+at t=v1-v0/ax=v0t=1/2at平方 x=v0乘以v1-v0/a+1/2a乘以(v1-v0/a)的平方v0平方+v1平方=2xa
  13. 若矩阵A,B分别为m行n列,k行n列矩阵,且已知他们行向量等价,那么怎么证明AX=0与BX=0同解啊?

    AX^T=0的解空间即为A的行空间正交补空间(即,于A的行空间中所有向量都正交的向量构成的空间)因为A,B的行向量等价,故A,B的行空间一样故他们的正交补空间一样.故AX^T=0与BX^T=0同解.进而AX=0与BX=0同解. 再问: 可以用数学语言来证明吗?这种文字性的叙述,阅卷时不好得分 比如通过数学运算来证明,尽
  14. 线性空间3设A=(A1,A2)(A1,A2是竖直排列,是n级非退化矩阵V1={x|A1X=0} V2={X|A2X=0}

    (1)首先因为A是非退化阵,所以Rank(A)=Rank(A_1)+Rank(A_2)=n;再者,V_1,V_2分别表示A_1,A_2的零空间,因此维数分别是 n-Rank(A_1)和 n-Rank(A_2)则dim(V_1)+dim(V_2)=n;(2)设任意向量 x 属于 V_1交 V_2则 Ax=[A_1,A_2
  15. A,B为n阶实矩阵,并且AB=0,B^2=B ,V1,V2分别为AX=0,BX=0的解空间

    x=(x-Bx)+BxA(Bx)=ABx=0x=0故Bx为Ax=0的解.B(x-Bx)=Bx-B^2x=0故x-Bx为Bx=0的解.故R^n=V1+V2 (2)应为直和,而不是单纯的和.也就是V1交V2等于零空间的充要条件是R(A)+R(B)=ndimV1=n-r(A),dimV2=n-r(B),dimR^n=n,R^
  16. 整数分拆公式p(n+k,k)=p(n,1)+p(n,2)+.+p(n,k) 如何证明

    楼上说的对.用推导把,k=1时满足,假设k=n满足,去证明k=n+1满不满足吧.分少点.
  17. (1)同温同压时:①V1:V2=n1:n2=N1:N2 ②ρ1:ρ2=M1:M2 ③ 同质量时:V1:V2=M2:M1

    核心式子就是pv=nRT, 这里呢:p是压强,v是体积,n是物质的量,T是温度. 再答: v就是代表体积,没有什么区别。
  18. 设集合A={x|x=3n+2,n∈Z},B={y|3k-1,k∈Z},证明A=B.

    在集合A中,x的范围为z在集合B中,y曲子范围为z也就是说A、B集合都表示整数的集合所以A=B
  19. 已知集合A={x|x=3n-2,n∈Z}B={y|y=3k+1,k=Z},证明A=B

    img class="ikqb_img" src="http://a.hiphotos.baidu.com/zhidao/wh%3D600%2C800/sign=008334289d3df8dca6688797fd215eb3/b90e7bec54e736d15f62b6d799504fc2d46269ff.jpg"